KURENAI NO SYSTEM
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 ☆彡

重ね合せの原理

ほとんどすべての周期関数は、整数分の1の周期をもつ正弦波の重ね合せにより 表現できます。


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サイン、コサイン、タンジェント

の意味は?」と言えば? 「二乗すると2になる数字」って事ですね。 具体的には1.41421356・・・・を意味する

後で説明しますが、sin(30度)と書けば、0.5(1 / 2)の事です。

「30度の直角三角形」を描いて下さい。
大きさを指定しませんでしたので、人によっといろんな大きさで描いて下さったと思います。
たとえどんな大きさで描いたとしても、形は同じですね。

そうです、「辺の長さの比がいっしょ」って事です。
辺の長さは、人によって違っても、辺の比だけは、誰が描いても、1:2: なります。
ところで、「比」って、言い方を変えたら「割り算」ですね。ですから、高さを斜辺の長さで割った値は、誰の描いた絵でも「1/2」です。
もちろん指定した角度が違えば、比も変わりますが、角度が一緒ならば、絵の大きさとは関係無く、絶対に一緒になりますね。

ここで、ピタゴラスの定理(三平方の定理)について
ピタゴラスの定理(三平方の定理/直角三角形の3辺の長さの関係を表す等式で、中国の数学では鉤股弦の法と呼ばれている)
θ(シータ)とは角度を表します。
この場合、(bに対する角である)Bの角がθになっていますが、定まった角(この場合直角)でなければよい
a2 + b2 = c2

斜辺の長さで高さを割る事(正確には「割った結果」)を「sin(サインと読む)」もしくは「正弦」と言います。

今度は、「底辺/斜辺」を計算してみましょう。
30度の直角三角形ならば、 /2 ですね。
この「底辺/斜辺」を「cos(コサインと読む)」もしくは「余弦」と言います。
「高さ/底辺」を「tan(タンゼントと読みます)」もしくは「正接」と言います。

まず、数学一般に使われるルールをいくつか説明する必要があります。 座標軸に関するルールです。
まず、角度の測りかたです。 「X軸正方向を0度として、反時計回りに角度を測る」という決まりがあります。(これは数学一般に使うルールです)ですから「45°の方向に線を引いて下さい」と言ったら、右上に向かって引く事になります。 「315°」と「-45°」と書いてありますね。 どっちでも良いです。X軸正方向から反時計回りに測ると315°ですね。 で、「角度は反時計回り」ですから当然、「もし時計回りに測ったならば、マイナスの角度になる」んですね。 ですから、315°は-45°とも言えます。 あと、もう一つ、用語が出てきます。 「象現(「しょうげん」と読む)」という用語です。 X>0 and Y>0の領域を「第一象現」と呼びます。 同じ要領で、「第二象現」、「第三象現」、「第四象現」と呼びます。
原点を中心にして、半径 r の円を描いて見てください。そこに30°の方向に、直線を描き込みましょう。 その直線と円の交点の名前をP、座標を (x,y) とします。 さらに、点P(x,y)から、X軸に垂線を降ろして下さい。 そうすると三角形ができますね。(図では、緑色に塗っている部分です) では、その三角形に「斜辺」「底辺」「高さ」を書き込んでみますね。 図をたよりに、「斜辺」「底辺」「高さ」と座標の関係を調べてみましょう。 斜辺 = r (=半径) 底辺 = x 高さ = y になっていますね?

sin30 = (y/r) cos30 = (x/r) tan30 = (y/x) ですね? 
ところで、今の話は、30度に限った話ではないですね。別に何度でも同じでしょ?
そこで一般に角度θ(「しーた」と読む)での三角比は、
sinθ = (y/r)
cosθ = (x/r)
tanθ = (y/x) になりますね。
これを定義にします。 (sinθ=(高さ/斜辺)ではなく、sinθ=(y/r)を定義にします)

「ワザワザややこしくするなよ!」と思いますが、違うんです。 「斜辺」とか「底辺」とかを言っていると、「角度」が90度未満でしか書けませんよね。(180度までという説もあるけど) でも、座標を利用して、sinθ=(y/r)と言えば、角度は0~360度までどんな角度でも計算出来ますね。 「斜辺」「高さ」「底辺」とか言っていると、こういうマイナスの値がうまく表現出来ませんが、座標を使えば何の苦も無く出せますね。

ここで三角関数を簡単に整理


 角度θから三角形の比を求める。
 sinθ = Y/R
 cosθ = X/R
 tanθ = Y/X

ただし、R = √( X2 + Y2 )

Rとθより
 X = Rcosθ
 Y = Rsinθ

三角関数の逆数は次式となる。
 secθ = R/X = 1/cosθ
 cosecθ = R/Y = 1/sinθ
 cotθ= X/Y = 1/tanθ

逆関数は三角形の比から角度を求める。
 sin-1(Y/R) = θ
 cos-1(X/R) = θ
 tan-1(Y/X) = θ

角度は度の場合とラジアンの場合がある。

単位変換
 1度 = π/180ラジアン
 π(円周率) = 3.141592654

三角関数の公式
 sin2θ + cos2θ = 1
 1 + tan2θ = cec2θ
 1 + cot2θ = cosec2θ
 tanθ = sinθ/cosθ
 cotθ = cosθ/sinθ
 sin2θ = 2sinθcosθ
 cos2θ = cos2θ + sin2θ
 tan2θ = 2tanθ/(1- tan2θ)















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円周率

なぜ円周率を角度に使うのか?
円の直径と円周の比率を円周率といいπで示す。
円周率(π)の値は無理数だ。
3.1415・・・のように続き、決して途切れない。

一方でπは、角度の表現でも使用する。
πを利用した角度を弧度法という。
弧度法では、180度をπで示す。
中心角が一定の場合、弧の長さと半径は比例関係になる。
直径が10倍になれば弧の長さも10倍になる。
直径がn倍ならば、弧の長さもn倍だ。

πは円周率で使うときは3.14であるが、角度で使うときは180度になる。



中心角が異なれば、弧の長さと半径の比は違ってくる。
中心角が2倍になれば、弧の長さと半径の比は2倍になる。


例えば、半径rの扇型を考えてみよう。
中心角が90度から180度と二倍になれば、弧の長さと半径の比も2倍になっている。

中心角

90

180

半径

r

r

弧の長さ

πr/2

πr

弧の長さと半径の比

π/2

π


上表を見ると、弧の長さと半径の比に半径rが含まれていないことに気がつく。
弧の長さと半径の比には、扇型のサイズは無関係なことを示している。

ここから、弧の長さと半径の比を使って中心角を表現するいう発想が生まれた。
これが弧度法だ。

弧度法では、180度がπ、90度がπ/2であることは、ご存知の通りだ。
改めて先ほどの表とあわせると、弧度法での角度は弧の長さと半径の比と一致していることが分かる。
(中心角が180度のとき、弧の長さと半径の比がπになっている)
弧度法は、弧の長さと半径の比で表現した角度なのだ。
弧度法で示した角度の単位は「度」ではなくラジアンである。

90度の扇型の半径と弧の比はπ/2だ。
従って、90度を弧度法で示すとπ/2ラジアンになる。

ことろで1ラジアンは、どれくらいの大きさなのだろうか?
180度がπラジアンであるから、180度をπ(3.141・・・)で割ればいい。

その答えは約57.296になる。
つまり1ラジアンは約57.296度なのだ。

1ラジアン(約57.296度)とは、弧の長さと半径の比が1ということを意味する。
このことから、1ラジアンは、半径と弧の長さが等しくなる角度と言うことができる。

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フーリエ

「同じ周期を持つ波はどんなに複雑なものでも単純な波の合成である」
若くして「フーリエ級数」を発表したフーリエは、数学者であると同時に、エジプト文明の研究に熱中した考古学者でもありました。
「同じ周期を持つ波はどんなに複雑なものでも単純な波の合成である」




フーリエの発見したフーリエ級数の式と展開式はというとても難しい式をしています。この式の持つ意味が理解できなくても、身近に感じれるものとなればと考えます。 フーリエの発見した「複雑な波は単純な波の合成」に出てくる単純な波、すなわちsin波とcos波の話から始めていきましょう。 いま、半径aの円を考えます。図のように円周上に円周上に1点 P(x,y)をとり、角度をθとします。このとき、x,yは x=a cosθ,y=a sinθ  と表すことができます。θを変化させると、それに伴いx,yの値も変化していきます。



 横軸に角度θ、縦軸にの値をとって、点をプロットしていくと1つの波ができます。これをsin波(sine curve)といいます。 この波はaと-aの間を上下する波で、そのaの値のことを「振幅」といいます。
 同様にして、cos波(cosine curve)も得ることができます。

sinの1周期分のグラフを見てみましょう。


次に,cosの1周期分のグラフも見てみましょう。


角度θが1/2π(90°)のとき、つまり位相が1/2πのときは、sinは1、cosは0です。
このとき、sin波が基準なので、cos波の位相は1/2πです。

 この波は角度θを増やしていくに従い、同じ形をした波が何度も繰り返し描かれることになります。このように同じ形を何度も繰り返すことを「周期性がある」といいます。
周期・周波数・角速度
 先ほどは角θの値によってsin波 f(θ)=a sinθ と cos波 f(θ)=a cosθ が変化していく様子を見ました。今度は角θも時間とともに変化させてみましょう。つまり、先ほどは横軸に角度θをとっていましたが、今度は時間tを横軸にとってみようというわけです。


ポイントは,横軸が時間であることですね.
縦軸は人によって違うかもしれないですが,この例の場合は電圧です.
説明しやすくするために,簡単な波形で説明していきましょう.


波形を扱う上で,かかせないのが周波数という考え方です.
周波数とは,「1秒間に繰り返している波の回数」のことを言います.
単位はHz(ヘルツと読む)です.
上の図だと,1秒間に2回繰り返しているので
この波形の周波数は2Hz,となります.

では,この波形は何Hzでしょうか?

この波形は6回同じ形が繰り返しているので6Hzです.

まだこのくらいなら,数えれば何Hzか分かりますね.
でもこれが20Hz位になったら,少なくとも私は数えたくないです.
こんな感じです.


 円周上を回る速さが速ければ速いほど、より多くの波を描くことになります。このように、時間によって上下する波の場合、
• 波が1回上下するのにかかる時間を「周期(T)」といいます。単位は秒(sec)。
• 1秒間に上下する波の回数を「周波数(f)」といいます。単位はヘルツ(Hz)。

 さてここで、角θも時間とともに変化するので、θもtの式で表すことができるはずです。そこで、角の増える速度を考えてみましょう。
 1秒間に進む角度のことを「角速度」といい、ω(オメガ)で表します。すなわち、式でいうと

角速度(ω)=角度(θ)/時間(t)

(単位は  °/sec または rd/sec)
周期Tと周波数fの間には



という関係が成り立ちます。また、ω=θ/t より θ=tωとなり、sin波,cos波を時間tの関数と考えると、次の式が成り立ちます。


波の合成
それでは先ほど与えられたsin波の式 f(t)=a sinωt をもとに、sin波の合成に取りかかります。次にあげる波の合成を合成してみましょう。

このグラフは,2Hzのsin波のグラフと5Hzのsin波のグラフの同じ時間での縦軸の値を足したものです.
+
=


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合成された波の規則性

合成する波の角速度は合成された波の角速度の整数倍
 今の事柄を式に表してみましょう。合成された波の基本の角速度をωとすると

フーリエ級数式
 sin波の合成された波の式が f(t)=∑ansin nωt で表されたのと同様のことが、cos波についてもいえます。この2つの波の他に、更に f(t)=a0 という時間では変化しない波「定数波」を合成させると上下に移動する波が得られます。

 定数波とcos波、sin波を合成させた波の式を一般的に表すと次のようになります。

 この式を「フーリエ級数式」といいます。

a0を求める
 これまで周期性のある単純な波を足しあわせて複雑な波を作ってきました。今度はいよいよ分解することを考えてみましょう。いったい複雑な波を単純な波に分解することなどできるのでしょうか。
 先ほどのフーリエ級数式をもう一度確認してみましょう。

 この式に出てくるa0の値を、まず求めてみましょう。次の図のように定数波【A】とcos波【B】【C】、sin波【D】が合成された波【E】を考えます。このうち、a0は定数波【A】の値になります。
定数波【A】

cos波【B】

cos波【C】

sin波【D】

定数波【A】とcos波【B】【C】、sin波【D】が合成された波【E】



 ここで、以前みたように、「合成する波の角速度は合成された波の角速度の整数倍」となりますから、合成された波の1周期分をまず調べればよいことになります。そして、a0の値を求めるために”面積”に着目します。
 ここで【B】の波をみてください。プラスの部分とマイナスの部分が相殺されて、面積が0になっています。同様のことが【C】と【D】の波についてもいえます。
cos波【B】


 残るのは波【A】のグラフだけとなります。【A】のグラフの面積は、次の図のようにすると、簡単にa0Tと求まります。

 【B】~【D】の波を合成したものが【E】の波ですから、【E】の面積は【A】の面積、すなわち a0T と同じにならなくてはなりません。 これを面積を表す積分記号を用いると、次のようになります。


波のかけ算
 何とかa0の値を求めることができました。次にanの値を求めることに挑戦してみましょう。
 係数a0を求める際に、a0に関する1つだけの波を残すために”面積”に着目しましたね。1周期の間にある定数波以外の波、つまりsin波もcos波も面積は全て0になりました。
 それではanに関する波、すなわちcos波の面積だけを残して、その他の波の面積を0にするような方法があるのでしょうか。
 そこに登場するのが”波のかけ算”という方法です。
基本の波【W】の周波数と同じ周波数を持つcos波の面積だけが残り、それ以外の波の面積は0になるのが分かります。
 cos波と同様のことがsin波についてもいえます。
cos波×cos波(sin波×sin波)の面積
  ①周波数が同じとき  cos波(sin波)の面積
  ②周波数が違うとき  0
 それではsin波とcos波のかけ算はどうでしょうか。基本の波【W】をまずcos波にして、【A】~【D】の波を周波数の違うsin波にしてみましょう。これをみると、かけ合わされた波はどれも面積が0になっています。
同様のことが基本波をsin波にして、かけ合わせる波をcos波にした場合にも成り立ちます。


(1) sin波×cos波

  Cos( ωt )  Cos( 2 * ωt )  Cos( 3 * ωt ) 
 Sin( ωt )      
Sin( 2*ωt )       
 Sin( 3*ωt )      


(2) sin波×sin波,( cos波×cos波 )

  Sin(ωt ) Sin( 2*ωt ) Sin( 3*ωt )
 Sin(ωt ) http://kurenainosystem.jp/image350.jpg   http://kurenainosystem.jp/image351.jpg  http://kurenainosystem.jp/image352.jpg
Sin( 2*ωt )   http://kurenainosystem.jp/image353.jpg  http://kurenainosystem.jp/image354.jpg  http://kurenainosystem.jp/image355.jpg
 Sin( 3*ωt ) http://kurenainosystem.jp/image357.jpg   http://kurenainosystem.jp/image358.jpg  http://kurenainosystem.jp/image359.jpg



先ほどと同じように面積に注目してみると,周波数が違うときは面積が0になりますが,同じときは同じ値にはなりません。いったいいくらになるでしょう。次の図のように足りない部分を補ってやると,長方形になります。これより面積は1/2になるのが分かります。cos波についても同様の事がいえます。


cos波×sin波の面積=0
 (1)と(2)をまとめると、面積を残すには
同じ周波数のcos波(またはsin波)をかけ合わせる
とよいことが分かりました。
anを求める
 さて、anを求めることに挑戦です。最初に問題にした波の合成図をもう一度みてみましょう。このうち、a0についてはすでに求めることができました。次に、a1の値を求めてみましょう。

 先ほどみたように、波の面積を残すには「同じ周波数のcos波(またはsin波)をかけ合わせる」とよいことがわかりましたね。ですから【B】の波の面積を残すために、1周期の波の数が2のcos波 cos2ωt の波をかけ合わせてみましょう。かけ合わされた波【B'】の面積=【E'】の面積となります。

 さて、では【B'】の波の面積はどうやって出せばよいのでしょうか。この部分の面積を出すのは、▲→△、●→○に移動させると、たてa1、よこT/2の長方形の面積、すなわちa1×T/2と同じになります。


 これを積分記号を用いて表すと、



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